| 超Ricci流上Witten Laplace算子的W-熵公式与Harnack不等式 |
李向东,李宋子 |
2017 |
2002年G. Perelman首次对Ricci流引进了W-熵、证明了W-熵的单调性，并利用W-熵的平衡态刻画了收缩Ricci孤立子。作为其应用，Perelman证明了关于Ricci流的非坍塌定理。这一结果为Poincare猜想和几何化猜想的最后解决扫清了障碍。然而，Perelman 对Ricci流所引进的W-熵，不仅形式上十分复杂，而且具有某种神秘色彩。2012年，中科院数学与系统科学研究院李向东研究员首次对 Perelman 关于 Ricci流所引进的W-熵给出了清晰的概率解释，研究了赋予加权测度的完备黎曼流形上Witten Laplace算子的热方程的W-熵，证明了在 CD(0, m)条件下W-熵的变分公式、单调性和刚性定理。2015年以来，李向东研究员与李宋子博士合作，在赋予时变黎曼度量和位势函数的流形上引进了（K, m）-超Ricci流的概念，对赋予（K, m）-超Ricci流的流形上的时变Witten Laplace算子的热方程的基本解引进了W-熵、证明了W-熵的变分公式及单调性。同时，他们还利用W-熵的平衡态刻画了（K, m）-Ricci孤立子和（K, m）-Ricci曲率流。这一工作是对Perelman关于Ricci曲率流W-熵的研究成果的非平凡推广和进一步深入。他们发现：Perelman对于Ricci曲率流所引进的W-熵在形式上虽然非常复杂，但本质上与统计力学和概率论中所研究的Boltzmann熵及几何分析中Li-Yau型及Hamilton型 Differential Harnack不等式有着密切而本质的联系。这一发现从随机分析、几何分析和统计力学角度揭开了W-熵的神秘面纱，为进一步深入研究提供了重要的基础。在加权完备黎曼流形和赋予（K, m）-超Ricci流的紧致及完备黎曼流形上，他们对Witten Laplace算子的热方程证明了Li-Yau型和Hamilton型的Differential Harnack不等式。他们还证明了关于Witten Laplace算子的热方程基本解的对数梯度估计。这些结果对于几何分析及流形上的随机分析的进一步深入研究具有重要价值。 |
| 关于若干可压缩流体方程的研究 |
王勇、黄飞敏等 |
2017 |
可压缩Navier-Stokes方程和Boltzmann方程解的适定性和渐近行为的研究一直以来都是非线性偏微分方程中的重要研究课题。最近，我们在这方面问题的研究中取得了重要进展。1）可压缩Navier-Stokes方程解的渐近行为的研究：著名的不可压缩Navier-Stokes方程形式上为可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数(Mach number)极限，最近我们对于无穷远处状态为两个不同常数时，证明了一维可压缩Navier-Stokes方程的低马赫数极限。特别地，除了上面到的声波，我们发现了新的波现象，即扩散波。对于一般的有界光滑区域，我们证明了可压 Navier-Stokes 方程的 Navier-slip 类型初边值问题的解到可压 Euler 方程解的流体极限， 并得到了收敛速率，相关结果发表在SIAM J. Math. Anal, 47(2015), no. 6, 4123-4191及 Arch. Rational Mech. Anal., (2016), no.3, 1345-1415。2）Boltzmann方程一类大初值解的整体适定性：Boltzmann方程解的整体适定性问题是偏微分方程中的核心问题。对于一般初值，美国数学家R.J. Diperna与法国数学家P.L. Lions (1994年Fields获得者) (Ann. of Math, 1989)通过弱紧性方法首次得到了Boltzmann方程的大初值重整化解的整体存在性，并在论文中指出解的唯一性是重要的公开问题。 我们发展了一种新的先验估计，对于一类大振幅的初值（见图2），证明了Boltzmann 方程整体解的存在唯一性及解的正则性。我们的工作是首个具有唯一性的 Boltzmann 方程大初值整体解的数学结果，部分回答了P. L. Lions 等人提出的公开问题。此外，即使没有 Villani等人关于解的一致正则性假设，我们仍然能够得到该类大扰动初值 Boltzmann方程解的大时间衰减速率。最近，我们还将该结果推广到了有界区域的情形。论文分别发表在Arch. Rational Mech. Anal., 225 (2017), no. 1, 375-424和Advances in Mathematics. 343 (2019), 36-109. |
