Wasserstein 空间上Langevin形变流的W-熵与Ricci流上的Shannon熵幂（入选数学院2024年年度科研进展）

1.引进了Wasserstein 空间上的Langevin流, 证明了Wasserstein空间上的测地流和Langevin流的W-熵公式、单调性及刚性定理。该结果是对菲尔兹奖得主Perelman和Villani工作very interesting and significant的 改进和推广. 2.对Ricci流证明了Shannon熵幂沿共轭热方程的凸性，从信息论的角度给出了Perelman关于Ricci流的W-熵公式有意义的新的理解，揭开了W-熵的神秘面纱. 3.证明了从非负(m, V)-Ricci 曲率的完备黎曼流形到Cartan-Hadamard流形或正截面曲率黎曼流形的V-调和映照的Liouville定理，该结果是对郑绍远和J.Jost等人结果significant and interesting 的改进和推广.

可压缩Euler-Poisson方程大初值球对称整体弱解的存在性

可压缩Euler-Poisson方程描述了气态星云的运动情形。1938年，诺贝尔物理奖得主S. Chandrasekhar 发现星云存在一个质量极限，低于该质量极限的气态星云存在球对称定常解且解在球中心不出现质量集中现象。对于非定常的情形，本质上是一个大初值问题，解可能出现激波、真空和质量聚集等困难，之前没有任何结果。 我们的成果：1）若气态星云的初始质量不超过临界质量，王勇等[1]通过物理粘性的消失极限方法，证明了-律可压缩Euler-Poisson方程大初值球对称整体弱解的存在性，且该弱解在球心处不会出现质量集中现象。2）对于一般压力情形的可压缩Euler-Poisson方程，王勇等[2]建立了L^p补偿列紧理论，并将[1]的工作推广到一般压力情形。特别地，该结果可以包含白矮星的情形。

可压缩 Navier-Stokes 方程基本波的渐近稳定性（入选数学院2023年年度科研进展）

可压缩Navier-Stokes方程描述可压缩粘性流体运动的力学规律，是流体力学中的基本方程。如果忽略粘性效应，可压缩Navier-Stokes方程即为无粘的可压缩Euler方程。可压缩Euler方程描述理想流体的运动，是典型的双曲守恒律方程组，其主要特点是：无论初值多么光滑和多么小，解都可能会爆破，形成间断（激波）。如果考虑可压缩Euler方程的Riemann问题，其解具有三种基本波：激波、稀疏波和接触间断波，这三种基本波及其组合统称为Riemann解。Riemann解不仅决定了可压缩Euler方程解的局部和整体性质，而且决定了可压缩Navier-Stokes方程解的渐近行为。本报告将报告可压缩Navier-Stokes方程Riemann解的渐近稳定性的相关结果，特别是我们在等熵可压缩Navier-Stokes方程Riemann解的稳定性方面取得的最新研究进展。

随机Navier-stokes方程分布不唯一，概率意义上强解存在性，奇异流体方程的全局解

三维Navier-Stokes方程是重要的流体方程，它的整体适定性是美国Clay数学所的七个千禧年问题之一。最近Buckmaster-Vicol在[BV19] 中通过凸积分的方法证明了三维Navier-Stokes方程弱解不唯一。研究表明随机扰动很多时候会对系统有正则化影响，一个自然的问题是对于三维Navier-Stokes方程在噪声的影响下是否有唯一性。我们的工作得到了随机流体方程分布不唯一，概率意义上强解存在性等结果。 另一方面，M. Hairer提出的正则结构理论给出了次临界条件下带有奇异噪声随机偏微分方程的局部适定性。已有的全局适定性工作主要依赖方程非线性项的强耗散性，我们的工作给出了一种新的方法构造一类没有强耗散的奇异随机偏微分方程的全局解，进一步我们可以通过凸积分方法研究临界和超临界的奇异随机偏微分方程。

人工智能赋能空间转录组数据的计算与解析

近年来 快速发展的空间转录组 技术能够同时测量生物组织切片空间位点的基因表 达和空间位置信息，为研究人员破译组织的空间结构，理解周围环境对细胞 基因表达的 影响提供了条件。张世华 等 借助人工智能赋能空间转录组数据的计算与解析，取得了重 要的研究进展，开发了 STA 系列 算法 与 工具 发表 在 Nature Computational Science 、 Nature Communications 2 篇 、 Nucleic Acids Res earc h I E E E T P A M I 等 顶尖 期刊 。 首先 研 发 了适应于不同空间转录组技术、不同生物组织的生物组织空间亚结构识别的 人工智能工具 STAGATE Nature Communications 2 0 2 2 。 第二 针对来自不同技术、 不同发育时间点、不同疾病条件的生物组织多切片空间转录组数据建立了整合分析新工 具 STAligner Nature Computational Science 2 0 2 3 。 第三 开发了基于深度学习显著图 的空间域特异可变基因识别方法 STAMarker Nucleic Acids Res earc h 2 0 2 3 。 STA M arker 同时实现了空 间域识别和对应的空间可变基因识别，为细粒度分析空间转录 组数据提供了一种有效的方法。 第四 与 合作者 绘制了地中海涡虫再生过程中的三维 空间转录组图谱 STAPR ，系统鉴定了多个再生关键调控因子 Nature Communications 2 0 2 3 。 最后 提出对生成模型隐空间进行分割的分而治之的思想，具体通过中心维罗内分割和精确的球面堆积方法（适应于8和24维）来实现，最终在不同子区域上构建更加细致的损失函数以优化模型（IEEE TPAMI,2023）。该工作从理论上证明了分而治之的策略可以显著降低模型的测量误差与采样误差；并针对分而治之带来的不同批次数据异分布的问题设计了协同优化方法。

基于多频稀疏数据反演多尺度源的数学理论和算法

基于波场的反源问题广泛应用于石油勘探、医学成像、无损检测等众多领域，也是应用数学和计算数学的研究热点。 本项目基于多频稀疏波场数据对反源问题的数学理论和算法展开研究，取得的主要结果如下： 一、首次对多个环状声源反演的唯一性和数值算法展开研究。理论上，证明至多两个频率的远场数据即可唯一反演环状源的数目，位置，内径和外径；数值上，提出一种非迭代的偏移级数法重构环状源的位置，进而提出一种避免任何导数运算的迭代优化算法来计算每个环状源的内外径。 二、对多尺度源(点源与大尺度源的混合)，基于稀疏多频数据，证明即使大尺度源未知的情况下，点源的位置和强度也可以被唯一反演。一种分步算法被提出分别确定点源位置和数目，计算每个点源强度，反演大尺度源的有效支集。对分层介质这一具有重要应用价值的背景，证明分布在不同层的点源可由上半空间中稀疏方向的多频远场所唯一确定。构造性的唯一性同时提供了对点源定位的直接采样类算法和计算每个点源强度的近似公式。

动力系统中的若干问题

首次严格证明了两类薛定谔算子的迁移率边，同时也证实了一类算子具有反常迁移率边。引入弱随机周期解和弱随机周期测度的定义，分别给出了存在弱随机周期解和弱随机周期测度的充分性条件。提出了一类具有检疫和标准发病率的传染病模型的一个新颖的持久性分析方法，得到了模型解的较精细的下界估计。

奇异随机偏微分方程的全局适定性、大N极限、渐近展开（入选数学院2022年年度科研进展）

我们得到了一类奇异随机偏微分方程的全局适定性，由此给出了不用 Cole-Hopf 变换 KPZ 方程在多项式权重空间的全局适定性，改进了之前的结果。具体来说，我们证明了 一个新的带权重的 Holder 空间的新刻画以及将 Zvonkin 变换引入奇异随机偏微分方程，得到了新的一致估计。我们的方法适用于一类 Cole-Hopf 变换不适用的 KPZ 型方程。 进一步，我们通过随机量子化方法，即研究量子场对应的奇异随机偏微分方程得到了 O（N）量子场在二维和三维的大 N 极限。二维的时候，我们得到了对应奇异随机偏微 分方程的大 N 极限满足一个分布依赖的奇异随机偏微分方程，并且证明了它的适定性 和不变测度的存在唯一性。 最后，我们通过随机量子化的方法研究了量子场的扰动理论。通过分部积分公式和 PDE 的估计，我们证明了Φ4 场的 k 点关连函数的渐近展开和短距离行为。

平面粘性激波和疏散波在高维周期扰动下的非线性渐近稳定性

1. 对于高维带粘性的标量守恒律方程，证明了平面粘性激波在高维周期扰动下的非线性渐近稳定性，并得到了关于时间指数衰减的速率。 2. 对于高维可压缩Navier-Stokes方程组，证明了平面疏散波在高维周期扰动下的非线性渐近稳定性。

原子型动态路由驻留时长界定

在原子型（即离散个体组成的）动态网络路由中，个体在网络系统的驻留时长是一个重要的研究对象。其界定在相关的博弈、优化等问题里，或本身作为目标函数或作为解决最终目标不可或缺的一环而被广泛关注研究。但相关研究中，由于问题本身具有较强的动态性及复杂的链式交互影响，分析并界定一个个体在网络里的驻留时长通常极其复杂困难，也缺少较通用的数学分析方法。 本工作首先考虑了在很广的一类原子型动态路由模型下，如何界定个体的最晚到达（终点的）时间的问题，并提出了两种新颖的基于“虚拟个体”的离散动态分析方法。两种离散动态分析方法都巧妙利用了“虚拟个体”特定的自由性来分析相关个体的驻留时长，化解了个体之间复杂链式交互影响所造成的研究分析困难，同时具有一定的通用拓展性。在一个弱的入流约束条件下，分析得到了任意个体在系统内的逗留时长上界（其依赖于网络相关常数以及该个体进入网络时的系统内个体总数量）。 本工作还研究了在原子动态路由博弈中当入流流速小于等于网络最小o-d割时，网络均衡路由中任意个体的驻留时长是否有上界这一公开问题（或均衡路由中任意时刻的队列长度是否有上界）。对文献中已有的三类动态路由博弈模型，本工作利用前述分析方法得到的部分结果，在“系列-平行”网络上给出了肯定答案，证明了均衡路由任意时刻的队列长度都有固定上界。

传输噪声对某些偏微分方程的正则化作用（入选数学院2021年年度科研进展）

噪声的正则化（regularization by noise）是近年来随机分析领域的一个热门研究方向，在最新的数学主题分类（MSC2020）中有了专门的编号：60H50。传输型乘法噪声（简称为传输噪声）驱动的随机偏微分方程最近受到了很多关注。直观上来说，传输噪声能促进流体的混合，使得系统的能量向高频部分转移，在那里能量会被更快地耗散掉，因而系统在宏观上表现出更强的耗散性；随着噪声强度的增大，系统的耗散性会增强。这种强耗散性能够抑制原来的确定型系统可能出现的奇点，使得方程对于大初值也存在全局的强解。在文章[1]（见下面发表论文列表）中，罗德军与合作者应用上述想法研究了环面上传输噪声驱动的、涡度形式的随机三维Navier-Stokes方程；对于任意给定的大初值，他们证明了当噪声强度足够大时，方程的强解以大概率全局存在。罗德军等在[2]中进一步证明了类似的结论对更一般的非线性方程也成立，该结论可以应用到Fisher-KPP生物模型，Keller-Segel趋化模型等。另外，罗德军在[3]中考虑了传输噪声对没有粘性的二维Boussinesq系统的扰动，在噪声趋于高频的尺度极限下，证明了该随机方程组弱收敛到带有粘性的确定型系统，这为进一步研究传输噪声对于增强Boussinesq系统耗散性的作用打下了基础。文章[1]发表在《Probability Theory and Related Fields》，这是概率论领域最好的两个杂志之一。

新冠等传染疾病最优隔离期的确定与估计

该研究对新冠等传染病提出了一种个性化最优隔离规则，所提规则可以针对不同特征的个体确定不同的隔离期。所提出的最优规则以确保未知的感染者被释放的概率小于一个使得疫情得到控制的阈值，并同时使得未感染者平均隔离时间达到最短为要求。该研究获得了这一意义下隔离规则的最优解，给出了基于历史数据估计最优解的方法并证明了所得估计的理论性质。一系列的模拟研究与实际数据分析结果验证了所提隔离规则的良好实际效果。

Navier-Stokes方程的大强度粘性激波在周期扰动下的稳定性

证明了一维等熵Navier-Stokes方程的粘性激波在周期扰动下具有非线性稳定性。关键点：通过构造与解同步振荡的逼近解克服了扰动的不可积性，建立了处理周期扰动的一般框架理论。

任意相依结构下的p值合并问题

这项工作首次系统性的研究了任意相依结构下，p值合并函数极小性及其控制结构，提出了新的合并理论及方法，并严格改进了一些经典的合并方法。 通过使用p值转换e值的技术手段，我们研究了关于p值合并函数的e值表示。给出了关于满足极小性的p值合并函数的对偶表示方法，并得到了关于常用p值合并函数极小性的一些结果。本人和合作者利用相依结构理论的技术方法，即在某些凸性条件下的联合混合的性质，引入了新的满足极小性的p值合并函数，并构造了任意相依性假设下普遍有效的合并方法，可在不影响有效性的前提下严格地改进一些经典的p值合并方法。通过模拟分析验证了与现有方法相比，这种改进是实质性的。 我们的研究成果主要体现在以下几个方面：首先，通过对偶方法给出了两个关于p值合并函数极小性的表示结果，建立了p值和作为重要技术工具的e值之间的联系。其次，我们给出了p值合并函数满足极小性的一个必要条件。第三，我们证明了Hommel的经典p值合并函数和Vovk等的幂平均合并方法可以严格改进为有更强统计效力且满足极小性的版本，同时也证明Rüger的次序统计量合并方法在经过简单修改后是满足极小性的。 相关工作在2021年被统计学顶级期刊Annals of Statistics接受并在线发表。

三维随机欧拉方程耗散鞅解的适定和不适定

我们给出了三维随机欧拉方程耗散鞅解的定义，并且在这个解的框架下证明了存在性，弱强唯一性，分布不唯一，强马氏过程的存在性和不唯一。这里我们通过凸积分的方法在停时之前得到了概率意义上强解的存在性和不唯一，进而连接全局鞅解，得到了全局鞅解的不唯一。

稀疏数据反散射问题的唯一性和高效算法

稀疏数据反散射是实际应用驱动的重要研究课题,其高度的非线性和不适定性为相关研究带来极大困难.目前相关研究很少.完成人最近在这一方向的唯一性理论分析和高效数值算法设计方面取得了突破性的进展.具体如下: 1.基于稀疏数据的唯一性理论分析. 完成人证明基于稀疏多频测量数据唯一反演散射目标的大小和位置. 特别,对于多个点状目标, 完成人确定了其位置和强度唯一重构所需的最少测量点数目和最少频率数目,并由此给出强度的计算公式. 2.基于稀疏数据的反演算法设计. 完成人设计了可处理多尺度目标的直接采样算法. 这种算法不依赖于散射目标的先验信息, 由于直接成像算法只涉及到数据和特别设计的函数之间的内积, 因此快速、易实现且鲁棒性非常强.

流形值的随机热方程（入选2020年年度科研进展）

我们用狄氏型理论构造了有限体积和无穷体积上取值于流形的随机热方程的鞅解。这里只要求流形是完备的和随机完备的。我们证明这个解是以流形上的Wiener测度为不变分布。我们通过泛函不等式研究了解的性质，得到了有限体积下在Ricci曲率有下界时的指数遍历性；无穷体积下，当Ricci曲率为正时，解的指数遍历，当sectional曲率为负时，解不遍历。有限体积时我们通过Andersson-Driver估计形式上导出这个方程与Haier提出的几何热方程相同。

随机矩阵、最优传输与Ricci流的研究

1.首次发现并证明随机矩阵中Dyson布朗运动经验测度过程的弱收敛极限所满足的McKean-Vlasov方程是Voiculescu熵在概率测度空间上的梯度流, 利用最优传输首次证明了外场位势满足K-凸条件时该方程弱解的唯一性, 从而证明了Dyson布朗运动经验测度过程的大数定律及McKean-Vlasov方程解的长时间渐近收敛速度[1]. 2.对具有无穷维数、时间依赖的完备加权黎曼流形上的扩散算子引进了新型W-熵, 证明其单调性，给出了Ricci流及超Ricci流的刻画[2]. 3.利用最优传输理论首次证明了RCD(0, N)-非光滑测度度量空间上W-熵的单调性及刚性定理[3]. 4.完成综述性、前沿性论文《随机分析与几何》，发表于科学出版社出版的《数学所讲座2016》.

一类随机库存模型的优化与设计

对于随机供货情形下、带有非零提前期且缺货不补的随机库存系统，我们证明了常数订货策略随订货提前期的渐近最优性，并且证明了其费用函数随订货提前期以指数速度收敛到最优费用；证明了常数订货策略在某些条件下随缺货费用的渐近最优性；给出了求解最优常数订货策略参数的方法；利用数值算例比较了常数订货策略和基库存策略的优劣。 另外，我们研究了固定订货费用由阶梯函数刻画的连续时间盘点随机库存模型。在折扣费用准则下，不同于连续固定订货费用模型中(s, S)策略的最优性，我们发现(s, S)策略在某些情形下不再是最优策略；我们定义了一个一般化的(s, S(x))策略，证明了其优于(s, S)策略且具有部分最优性。

随机二维欧拉方程的白噪声解的极限定理

在前期的工作中，我和Flandoli教授（意大利比萨高等师范学校）研究了传输噪声驱动的、涡度形式的二维欧拉方程的白噪声解的存在性和分布的正则性，其中的噪声依赖于一个参数 。 当参数 时，该噪声是奇异的，其协方差算子的迹等于无穷，不能用以前的方法来研究随机二维欧拉方程的适定性。我们在文章[1]（见后面的列表）中对该方程进行了适当的重整化（renormalization），得到了一列方程，证明了它们的平稳的（stationary）白噪声解弱收敛到由时空白噪声驱动的二维Navier-Stokes方程的白噪声解，后者具有分布唯一性。随机二维欧拉方程的白噪声解的唯一性目前还是一个开问题，我们的结果表明传输噪声渐近地正则化了二维欧拉方程，使它在极限过程中具有了唯一的白噪声解。我们还在[3]中考虑了重整化之后的一列随机二维欧拉方程的涡点（point vortex）解，证明了解序列也弱收敛到时空白噪声驱动的二维Navier-Stokes方程的唯一的白噪声解；这可以看成是后者的一个粒子系统逼近结果。 另外，我和Flandoli在文章[2]中考虑了二维欧拉方程的涡点模型，由Hamilton量所定义的微正则（microcanonical）测度是其不变测度。当涡点数目趋于无穷时，我们证明了一列微正则测度弱收敛到白噪声测度在一定条件下的条件测度，并讨论了该结论与二维湍流的关系，给出了一些数值模拟的结果。