Wasserstein 空间上Langevin形变流的W-熵与Ricci流上的Shannon熵幂

可压缩 Navier-Stokes 方程基本波的渐近稳定性

可压缩Navier-Stokes方程描述可压缩粘性流体运动的力学规律，是流体力学中的基本方程。如果忽略粘性效应，可压缩Navier-Stokes方程即为无粘的可压缩Euler方程。可压缩Euler方程描述理想流体的运动，是典型的双曲守恒律方程组，其主要特点是：无论初值多么光滑和多么小，解都可能会爆破，形成间断（激波）。如果考虑可压缩Euler方程的Riemann问题，其解具有三种基本波：激波、稀疏波和接触间断波，这三种基本波及其组合统称为Riemann解。Riemann解不仅决定了可压缩Euler方程解的局部和整体性质，而且决定了可压缩Navier-Stokes方程解的渐近行为。本报告将报告可压缩Navier-Stokes方程Riemann解的渐近稳定性的相关结果，特别是我们在等熵可压缩Navier-Stokes方程Riemann解的稳定性方面取得的最新研究进展。

奇异随机偏微分方程的全局适定性、大N极限、渐近展开

我们得到了一类奇异随机偏微分方程的全局适定性，由此给出了不用 Cole-Hopf 变换 KPZ 方程在多项式权重空间的全局适定性，改进了之前的结果。具体来说，我们证明了 一个新的带权重的 Holder 空间的新刻画以及将 Zvonkin 变换引入奇异随机偏微分方程，得到了新的一致估计。我们的方法适用于一类 Cole-Hopf 变换不适用的 KPZ 型方程。 进一步，我们通过随机量子化方法，即研究量子场对应的奇异随机偏微分方程得到了 O（N）量子场在二维和三维的大 N 极限。二维的时候，我们得到了对应奇异随机偏微 分方程的大 N 极限满足一个分布依赖的奇异随机偏微分方程，并且证明了它的适定性 和不变测度的存在唯一性。 最后，我们通过随机量子化的方法研究了量子场的扰动理论。通过分部积分公式和 PDE 的估计，我们证明了Φ4 场的 k 点关连函数的渐近展开和短距离行为。

传输噪声对某些偏微分方程的正则化作用

噪声的正则化（regularization by noise）是近年来随机分析领域的一个热门研究方向，在最新的数学主题分类（MSC2020）中有了专门的编号：60H50。传输型乘法噪声（简称为传输噪声）驱动的随机偏微分方程最近受到了很多关注。直观上来说，传输噪声能促进流体的混合，使得系统的能量向高频部分转移，在那里能量会被更快地耗散掉，因而系统在宏观上表现出更强的耗散性；随着噪声强度的增大，系统的耗散性会增强。这种强耗散性能够抑制原来的确定型系统可能出现的奇点，使得方程对于大初值也存在全局的强解。在文章[1]（见下面发表论文列表）中，罗德军与合作者应用上述想法研究了环面上传输噪声驱动的、涡度形式的随机三维Navier-Stokes方程；对于任意给定的大初值，他们证明了当噪声强度足够大时，方程的强解以大概率全局存在。罗德军等在[2]中进一步证明了类似的结论对更一般的非线性方程也成立，该结论可以应用到Fisher-KPP生物模型，Keller-Segel趋化模型等。另外，罗德军在[3]中考虑了传输噪声对没有粘性的二维Boussinesq系统的扰动，在噪声趋于高频的尺度极限下，证明了该随机方程组弱收敛到带有粘性的确定型系统，这为进一步研究传输噪声对于增强Boussinesq系统耗散性的作用打下了基础。文章[1]发表在《Probability Theory and Related Fields》，这是概率论领域最好的两个杂志之一。

流形值的随机热方程

我们用狄氏型理论构造了有限体积和无穷体积上取值于流形的随机热方程的鞅解。这里只要求流形是完备的和随机完备的。我们证明这个解是以流形上的Wiener测度为不变分布。我们通过泛函不等式研究了解的性质，得到了有限体积下在Ricci曲率有下界时的指数遍历性；无穷体积下，当Ricci曲率为正时，解的指数遍历，当sectional曲率为负时，解不遍历。有限体积时我们通过Andersson-Driver估计形式上导出这个方程与Haier提出的几何热方程相同。