2021.10.25 15:00 N613

This series of talks will illustrate some possible connections among four famous conjectures in discrete probability theory, and will also state three additional favorite conjectures on random discrete structures.

本系列报告将阐述4个著名离散概率猜想之间可能的联系以及另外3个关于随机离散结构的令人喜爱的猜想。主要内容如下：

猜想1. 拟可迁无穷图上有非平凡相变的Bernoulli渗流在临界情形不发生渗透。

猜想2. 对非顺从拟可迁无穷图，其上的Bernoulli渗流满足 。其中 分别是渗流是否存在无穷连通分支和唯一无穷连通分支的临界概率阈值。

猜想3. 单模随机网络可以用有限网络来局部逼近。

猜想4. 存在临界维数 使 上的极小一致展开森林（MSF）中树的数目在 时为1而在 时为 ，在临界维数时为1或 （需具体确定）。

猜想1是概率论中Fields奖级别的问题，对 或 的 、非顺从单模图和指数体积增长图成立。猜想2在非单模情形、双曲情形成立，在单模情形仍然是开的。猜想3对理解猜想2有价值。猜想3对概率论、图论组合、群论、算子代数、遍历论等有深远和广泛的影响，对支撑在树上的单模随机网络、超有限的单模随机网络、单连通单模地图成立。猜想4中树的数目与 上一类高度无序的Edwards-Anderson型Ising spin-glass模型的基态数目密切相关：猜想4能肯定回答自旋玻璃理论中最基础、最核心的问题之一"在有限维情形，短程spin glass可否有无穷多个基态？"（约有近40年历史）。
不同于MSF的与费米场论、非线性sigma模型密切相关的一种随机展开森林模型Arboreal Gas还有许多基础问题待解决。例如猜测其有负相关性、在不低于3维情形有相变、3-4维情形在很低温时只有1棵无穷树而在不低于5维情形在很低温时有 棵无穷树。