传输噪声对某些偏微分方程的正则化作用(罗德军)

2022-01-07 | 撰稿: | 浏览:

       噪声的正则化(regularization by noise)是近年来随机分析领域的一个热门研究方向,在最新的数学主题分类(MSC2020)中有了专门的编号:60H50。传输型乘法噪声(简称为传输噪声)驱动的随机偏微分方程最近受到了很多关注。直观上来说,传输噪声能促进流体的混合,使得系统的能量向高频部分转移,在那里能量会被更快地耗散掉,因而系统在宏观上表现出更强的耗散性;随着噪声强度的增大,系统的耗散性会增强。这种强耗散性能够抑制原来的确定型系统可能出现的奇点,使得方程对于大初值也存在全局的强解。
       在文章[1](见下面发表论文列表)中,罗德军与合作者应用上述想法研究了环面上传输噪声驱动的、涡度形式的随机三维Navier-Stokes方程;对于任意给定的大初值,他们证明了当噪声强度足够大时,方程的强解以大概率全局存在。罗德军等在[2]中进一步证明了类似的结论对更一般的非线性方程也成立,该结论可以应用到Fisher-KPP生物模型,Keller-Segel趋化模型等。
       另外,罗德军在[3]中考虑了传输噪声对没有粘性的二维Boussinesq系统的扰动,在噪声趋于高频的尺度极限下,证明了该随机方程组弱收敛到带有粘性的确定型系统,这为进一步研究传输噪声对于增强Boussinesq系统耗散性的作用打下了基础。
       文章[1]发表在《Probability Theory and Related Fields》,这是概率论领域最好的两个杂志之一。捷克科学院数学所的E. Feireisl教授与合作者在近期的两篇文章中引用了罗德军等人的这项工作;他是2002年ICM的45分钟报告人,2018年Fields奖委员会的成员。在今年初的预印本(arXiv:2101.08250)中,Feireisl教授等说:“In [20], it was even proved that a transport noise of Stratonovich type provides regularization of the incompressible Navier–Stokes system in vorticity form.”在最近的预印本(arXiv:2112.05743)中,他们说:“A first result for the incompressible Navier–Stokes equations has been recently established in the remarkable work [20].”
       文章[2]发表在《Communications in Partial Differential Equations》。美国麻省理工学院的G. Staffilani教授与合作者引用了罗德军等人的这篇文章;她于2014年当选美国艺术与科学院院士,2021年当选美国国家科学院院士。她们在近期的预印本(arXiv:2109.09892)里说:“Concerning equations of the form (1.1), Flandoli et al. [FGL21] have shown that blow-up is delayed in a 3D version of (1.1) ……”

1. Franco Flandoli, Dejun Luo. High mode transport noise improves vorticity blow-up control in 3D Navier-Stokes equations. Probability Theory and Related Fields 180 (2021), no. 1-2, 309-363. 
2.Franco Flandoli, Lucio Galeati, Dejun Luo. Delayed blow-up by transport noise. Communications in Partial Differential Equations 46 (2021), no. 9, 1757-1788. 
3.Dejun Luo. Convergence of stochastic 2D inviscid Boussinesq equations with transport noise to a deterministic viscous system. Nonlinearity 34 (2021), 8311-8330. 

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