半空间中Boltzmann方程镜面反射边值问题的Hilbert展开(黄飞敏、王勇)

2021-09-02 | 撰稿: | 浏览:

       Boltzmann 方程是统计物理中的基本方程,被用来描述稀薄气体的运动规律。Boltzmann方程到可压缩Euler方程的流体动力学极限的研究最早可追溯到Maxwell和Boltzmann,是著名的Hilbert第六问题的主要内容之一。 Hilbert于1912年提出了Boltzmann方程的Hilbert展开,从形式上说明了Boltzmann方程的一阶近似是可压缩Euler方程。此后,从数学上严格证明Boltzmann 方程到可压Euler 方程的流体动力学极限一直是很多数学家非常关注的研究课题。以往这方面的研究都是关于柯西问题的情形,没有考虑边界效应的影响。当出现边界时,对于Boltzmann 方程的初边值问题,边界附近不仅会出现粘性边界层,而且由于微观效应的影响还会出现Knudsen边界层,这给该问题的研究带来了巨大的困难,迄今没有严格的数学结果。另一方面,受边界效应的影响,通常很难得到Knudsen 边界层解的高阶法向导数估计,故只能在低正则性空间中考虑该问题。 
       基于对边界层方程的系统研究并利用框架,我们建立了半空间中Boltzmann 方程镜面反射边值问题的Hilbert展开,从而证明了半空间中Boltzmann 方程的解到可压缩Euler 方程和Acoustic方程的流体动力学极限。关键点:对于Boltzmann 方程的镜面反射边值问题,观察到零阶非线性Prandtl 边界层不出现;发现了只需要Knudsen 边界层的切向导数就可以封闭整个估计。 
 
Yan Guo, Feimin Huang, Yong Wang, Hilbert expansion of the Boltzmann equation with specular boundary condition in half-space. Arch. Ration. Mech. Anal. 241 (2021) no. 1, 231–309.  https://doi.org/10.1007/s00205-021-01651-6 

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